Question

如图，正方形ABCD中，AB=4，AE=1，点P是对角线BD上一动点，当△APE的周长最小时，过B，P，E三点的圆的直径为

 

．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,正方形的性质,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：连接AC，由正方形的性质可知A和C关于BD对称，再连接CE交BD为P，则此时三角形APE的周长最小，求出P的坐标，即可求出答案．

解答：解：连接AC，连接CE交BD为P，如图所示建立平面直角坐标系，过P作PN⊥x轴于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴直线BD是正方形的一条对称轴，
∴此时三角形APE的周长最小，
∵AE=1，AB=BC=4，
∴BE=3，
由题意知：C（0，4），B（0，0），D（-4，4），E（-3，0），
设P的坐标为（x，y），
设直线BD的解析式为y=kx，
把D（-4，4）代入得：4=-4k，
解得：k=-1，
即y=-x，
∴∠PBA=45°，∠BPN=45°，
∴BN=PN，
作BM⊥PB交圆于M，
则PM为圆的直径，
∠MBN=∠NMB=45°，
∴PM=2PN，
设直线CE的解析式是y=ax+c，
把C（0，4），E（-3，0）代入得：

4=c 0=-3a+c

，
解得：a=

4

3

，c=4，
即直线CE的解析式是y=

4

3

x+4，
解方程组

y=-x y= 4 3 x+4

得：

x=- 12 7 y= 12 7

，
即P的坐标是（-

12

7

，

12

7

），
∴PN=

12

7

，
∴PM=2PN=

24

7

，
故答案为：

24

7

．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，正方形性质，圆周角定理等知识点的应用，题目比较好，但是难度偏大．