Question

如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y₁=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y₂=kx（k为常数，k＞0）

（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A　　　　　　，k=　　　　　　；

（2）随着三角板的滑动，当a=时：

①请你验证：抛物线y₁=ax（x﹣t）的顶点在函数y=的图象上；

②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；

（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y₂﹣y₁|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y₂﹣y₁|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值；

（2）①求得抛物线y₁的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y=，若该点满足函数解析式y=，即表示该顶点在函数y=图象上；反之，该顶点不在函数y=图象上；

②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线y₁=x（x﹣t）即可求得t=2；

（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是+4．则t+4=+4，由此可以求得a与t的关系式．

【解答】解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，

∴点A的坐标是（t，4）．

又∵直线OA：y₂=kx（k为常数，k＞0），

∴4=kt，则k=（k＞0）．

 

（2）①当a=时，y₁=x（x﹣t），其顶点坐标为（，﹣）．

对于y=来说，当x=时，y=×=﹣，即点（，﹣）在抛物线y=上．

故当a=时，抛物线y₁=ax（x﹣t）的顶点在函数y=的图象上；

 

②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．

∵AC⊥x轴，

∴AC∥EK．

∵点E是线段AB的中点，

∴K为BC的中点，

∴EK是△ACB的中位线，

∴EK=AC=2，CK=BC=2，

∴E（t+2，2）．

∵点E在抛物线y₁=x（x﹣t）上，

∴（t+2）（t+2﹣t）=2，

解得t=2．

 

（3）如图2，，则x=ax（x﹣t），

解得x=+t，或x=0（不合题意，舍去）．

故点D的横坐标是+t．

当x=+t时，|y₂﹣y₁|=0，由题意得t+4=+t，

∴at=1．

∵y₂﹣y₁=x﹣ax（x﹣t）=﹣ax²+（at+）x=﹣a[x²﹣（t+）x+（+）²]+a（+）²

=﹣a[x﹣（+）]²+a（+）²

∴当x=+时，y₂﹣y₁取得最大值，

又∵当x=+t时，|y₂﹣y₁|=0，

∴当+≤x≤+t时，|y₂﹣y₁|随x的增大而减小；当x≥+t时，|y₂﹣y₁|随x的增大而增大．

根据题意需要满足当t≤x≤t+4，|y₂﹣y₁|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y₂﹣y₁|的值随x的增大而增大，

∴t≥+可满足条件，

∵at=1，

∴解得t≥4．

综上所述，a与t的关系式及t的取值范围为at=1（t≥4）．

【点评】本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点．解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．