Question

如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=2

3

，∠B=30°，求线段DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）连接OD，要证明直线CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OD即可；
（2）首先，在直角△ADB中，利用三角函数求得AD=

3

，然后，在RT△EAD中，通过解直角三角函数即可求出DE的长度．

解答：（1）证明：如图，连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠2=90°；
又∵OB=OD，
∴∠2=∠B，
而∠ADC=∠B，
∴∠1+∠ADC=∠ADO=90°，即CD⊥OD．
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠ADB=90°，
∵∠B=30°，
∴∠DAB=60°，AD=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∴∠EAD=30°，
∵在RT△EAD中，tan∠EAD=

DE

AD

，
∴DE=tan30°•AD=

3

3

×

3

=1．

点评：本题考查了解直角三角函数、切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．