Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形，详见解析；（3）

【解析】

（1）把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点的坐标；

（2）利用点、、的坐标来求线段、、的长度，得到，则由勾股定理的逆定理推知是直角三角形；

（3）作出点关于轴的对称点，则．连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，一定，当的值最小时，的周长最小．利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线方程，求得．

解：（1）点在抛物线上，

，

解得，

抛物线的解析式为．

，

顶点的坐标为；

（2）是直角三角形．理由如下：

当时，，

，则．

当时，，

，，则，

，，

．

，，，

，

是直角三角形；

（3）作出点关于轴的对称点，则．

连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，一定，当的值最小时，的周长最小．

设直线的解析式为，则

，

解得，

．

当时，，则，

．