Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，DG是△BCF的中位线，求证：AF=

1

2

FC，EF=

1

3

BE．

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：证明题

分析：由条件可证明△AEF≌△DEG，可得GD=AF，GE=EF，结合中位线定理可证明AF=

1

2

FC，由G为BF的中点、E为GE中点，可知BG=2GE=2EF，可证明EF=

1

3

BE．

解答：证明：
∵DG是△BCF的是位线，
∴DG∥AC，DG=

1

2

CF，
∴∠EAF=∠EDG，
∵E为AD中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEG中

∠EAF=∠EDG AE=ED ∠AEF=∠GED

∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴DG=AF，GE=EF，
∴AF=

1

2

FC，
∴BE=BG+GE=2EF+EF=3EF，
∴EF=

1

3

BE．

点评：本题主要考查三角形中位线定理的应用，由条件证明△AEF≌△DEG找到DG和AF、FC的关系是解题的关键．