【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,BA=5,点D在边AC上的一动点,过点D作DE∥AB交边BC于点E,过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F,分别以DE,EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF,则在D从A到C的运动过程中,当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时,则EF的长度为_____.
【答案】
【解析】
利用勾股定理求得AC=3,设DC=x,则AD=3-x,利用平行线分线段成比例定理求得CE=进而求得BE=4-,然后根据S阴=S矩形CDGE+S矩形HEBF得到S阴=x2-8x+12,根据二次函数的性质即可求得CD,进而求得BE和BF,然后根据勾股定理求得即可.
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,BA=5,
∴AC==3,
设DC=x,则AD=3﹣x.
∵DF∥AB,
∴=,即=,
∴CE=,
∴BE=4﹣.
∵矩形CDGE和矩形HEBF,
∴AD∥BF,
∴四边形ABFD是平行四边形,
∴BF=AD=3﹣x,
则S阴=S矩形CDGE+S矩形HEBF=DCCE+BEBF
=xx+(3﹣x)(4﹣x)=x2﹣8x+12,
∵>0,
∴当x=﹣=时,有最小值,
∴DC=,有最小值,
∴BE=4﹣×=2,BF=3﹣=,
∴EF==,
即矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时,则EF的长度为,
故答案为:.
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【题目】如图,在 △ ABC 中,∠ ACB=90° ,AC=BC=2 .E , F 分别是射线 AC 、CB 上的动点,且 AE=BF , EF 与 AB 交于点 G ,EH⊥ AB 于点 H ,设 AE=x ,GH=y ,下面能够反映 y 与 x 之间函数关系的图象是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,△OA1B1是等边三角形,点B1的坐标是(2,0),反比例函数y=的图象经过点A1.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)如图,以B1为顶点作等边三角形B1A2B2,使点B2在x轴上,点A2在反比例函数y=的图象上.若要使点B2在反比例函数y=的图象上,需将△B1A2B2向上平移多少个单位长度?
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【题目】为加快5G网络建设,某移动通信公司在一个坡度为2:1的山腰上建了一座5G信号通信塔AB,在距山脚C处水平距离39米的点D处测得通信塔底B处的仰角是35°,测得通信塔顶A处的仰角是49°,(参考数据:sin35°≈0.57,tan35°≈0.70,sin49°≈0.75,tan49°≈1.15),则通信塔AB的高度约为( )
A.27米B.31米C.48米D.52米
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【题目】如图1,在平面直角坐标系xOy中,双曲线与直线y=ax+b(a≠0)交于A、B两点,直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点,E为x轴上一点.已知OA=OC=OE,A点坐标为(3,4).
(1)将线段OE沿x轴平移得线段O′E′(如图1),在移动过程中,是否存在某个位置使|BO′﹣AE′|的值最大?若存在,求出|BO′﹣AE′|的最大值及此时点O′的坐标;若不存在,请说明理由;
(2)将直线OA沿射线OE平移,平移过程中交的图象于点M(M不与A重合),交x轴于点N(如图3).在平移过程中,是否存在某个位置使△MNE为以MN为腰的等腰三角形?若存在,求出M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知∠MON=120°,点A,B分别在ON,OM边上,且OA=OB,点C在线段OB上(不与点O,B重合),连接CA.将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′,将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D.
(1)根据题意补全图1;
(2)求证:
①∠OAC=∠DCB;
②CD=CA(提示:可以在OA上截取OE=OC,连接CE);
(3)点H在线段AO的延长线上,当线段OH,OC,OA满足什么等量关系时,对于任意的点C都有∠DCH=2∠DAH,写出你的猜想并证明.
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【题目】如图,已知AB是的直径,点P在BA的延长线上,PD切于点D,过点B作,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.
(Ⅰ)求证:AB=BE;
(Ⅱ)连结OC,如果PD=2,∠ABC=60°,求OC的长.
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【题目】为迎接“六一”儿童节,某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具,其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元,经调查:用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同
(1)求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元?
(2)该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个,若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售,每个B类玩具定价25元出售,且全部售出后所获得利润不少于1080元,则商店至少购进A类玩具多少个?
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【题目】在菱形中,,点是射线上一动点,以为边向右侧作等边,点的位置随点的位置变化而变化.
(1)如图1,当点在菱形内部或边上时,连接,与的数量关系是 ,与的位置关系是 ;
(2)当点在菱形外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,
请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4,当点在线段的延长线上时,连接,若 , ,求四边形的面积.
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