Question

阅读并完成以下问题：
已知，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于点E、F．当AB=AC，易证△BEO与△CFO为等腰三角形，则有EF=BE+CF．（如图1）
①当AB≠AC，其他条件不变，如图（2），则EF=BE+CF还成立吗？答：

 

．
②当AB≠AC时，作∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图（3），这时EF与BE、CF间的关系又如何呢？请写出并证明你的结论？
③当AB≠AC时，作∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线或延长线交于O，过O点作BC的平行线，交AB延长线于E，交AC的延长线于F．请根据以上的要求画出图形，并直接写出这时EF与BE、CF间的关系？

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,平行线的性质

专题：

分析：①根据角平分线的定义可得∠CBO=∠ABO，根据两直线平行，内错角相等可得∠BOE=∠CBO，等量代换可得∠ABO=∠BOE，根据等角对等边可得BE=OE，同理可得CF=OF，然后根据EF=EO+OF等量代换即可得证；
②根据角平分线的定义可得∠CBO=∠ABO，根据两直线平行，内错角相等可得∠BOE=∠CBO，等量代换可得∠ABO=∠BOE，根据等角对等边可得BE=OE，同理可得CF=OF，然后根据EF=EO-OF等量代换即可得证；
③作出图形，然后根据角平分线的定义可得∠CBO=∠EBO，根据两直线平行，内错角相等可得∠BOE=∠CBO，等量代换可得∠EBO=∠BOE，根据等角对等边可得BE=OE，同理可得CF=OF，然后根据EF=EO+OF等量代换即可得证．

解答：解：①∵OB平分∠ABC，
∴∠CBO=∠ABO，
∵EF∥BC，
∴∠BOE=∠CBO，
∴∠ABO=∠BOE，
∴BE=OE，
同理可得CF=OF，
∵EF=EO+OF，
∴EF=BE+CF；
故答案为：成立；

②∵OB平分∠ABC，
∴∠CBO=∠ABO，
∵EF∥BC，
∴∠BOE=∠CBO，
∴∠ABO=∠BOE，
∴BE=OE，
同理可得CF=OF，
∵EF=EO-OF，
∴EF=BE-CF；

③如图，∵OB平分∠ABC的外角，
∴∠CBO=∠EBO，
∵EF∥BC，
∴∠BOE=∠CBO，
∴∠EBO=∠BOE，
∴BE=OE，
同理可得CF=OF，
∵EF=EO+OF，
∴EF=BE+CF．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，此类题目，要注意前后小题的思路往往都是相同的．