Question

如图，Rt△ABC中，AB=BC=8，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，下列结论：①△BDN的周长为12；②M是AC的中点； ③∠CMD+∠BND=90°；④DM=DN，其中正确的是

 

．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：如图，证明∠CMD+∠BND=360°-2（α+β）；求出α+β=135°，得到∠CMD+∠BND=90°，故③正确；证明AN=DN，得到△BDN的周长=DN+BN+BD=AB+BD=12；故①正确；运用勾股定理求出BN=3，得到BN=3≠BD，∠DNB≠45°，进而判断②④不成立．

解答：解：如图，∵AB=BC=8，∠B=90°，
∴∠A=∠C=45°；
由题意得：△AMN≌△DMN，
∴AN=DN（设为λ），∠ANM=∠DNM（设为α），
∠A=∠MDN=45°；∠AMN=∠DMN（设为β）；
∴∠CMD+∠BND=180°-2α+180°-2β
=360°-2（α+β）；而α+β=180°-45°=135°，
∴∠CMD+∠BND=90°，故③正确；
∵AB=BC=8，点D为BC的中点，
∴BN=8-λ，BD=4；
∴△BDN的周长=DN+BN+BD=AB+BD=12；
故①正确；
由勾股定理得：（8-λ）²+4²=λ²，解得：λ=5，
∴BN=3≠BD，
∴∠DNB≠45°，而∠MDN=45°，
∴DM∥BN不成立；而点D为BC的中点，
∴②不成立；容易证明∠DMN≠∠DNM，
∴④不成立；
故正确答案为①③．

点评：该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是深入观察图形结构特点，准确找出图形中隐含的相等或全等关系．