Question

直线y=-

4

3

x+8分别交x轴、y轴于A、B两点，动P从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿线段OA匀速运动，到达点A后立刻以原速沿AO返回，点Q从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设动点P、Q同时出发．
（1）求△APQ的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）在点P、Q运动过程中，PQ的垂直平分线交OB于E，垂足为D，是否存在t的值，使得四边形QBED为直角梯形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）当DE经过原点时，求直线PQ的解析式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据正弦三角函数，可得QC的长，根据三角形的面积公式，可得函数关系式；
（2）根据直角梯形的判定，可得答案；
（3）根据垂直平分线的关系，可得斜率之间的关系，可得t值，根据待定系数法，可得函数解析式．

解答：解：（1）如图1，作QC⊥OA与C点，，
直线y=-

4

3

x+8分别交x轴、y轴于A、B两点，
A（6，0）B（0，8），由勾股定理得
AB=10，
sin∠A=

OB

AB

=

8

10

=

4

5

，cos∠A=

OA

AB

=

6

10

=

3

5

，
OP=t，AQ=t，
AP=6-t，QC=

4

5

t，
S_△APQ=

- 2 5 t2+ 12 5 t ;(0＜t＜6) 2 5 t2- 12 5 t ;(6＜t＜8)

；

（2）不存在t的值，使得四边形QBED为直角梯形，理由如下：
DE垂直平分PQ，DE⊥OB，
即PQ∥OB，
即Q、P点的横坐标相等，
t=

3

5

t，t不存在；

（3）如图2，
E点与O点重合，P（t，0）Q（6-

3

5

t，

4

5

t），
OD垂直平分PA，
D（3+

1

5

t，

2

5

t）
k_OD•k_PQ=-1，得

2 5 t

3+ 1 5 t

•

4 5 t

6- 8 5 t

=-1
解得t=5
P（5，0），Q（3，4）
设PQ的解析式为y=kx+b，
PQ：y=kx+b的图象过点P，Q，得

5k+b=0 3k+b=4

，
解得

k=-2 b=10

，
故直线PQ的解析式：y=-2x+10．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了锐角三角函数，三角形的面积公式，直角梯形的判定，利用两直线斜率间的关系是解题关键．