Question

已知：如图所示，四边形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．
（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；
（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM形状又如何？说明理由；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=30°，∠ACD=45°，求四边形BNDM的各内角的度数．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）根据平行四边形的判定（对角线互相平分的四边形是平行四边形）即可解决问题．
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证到MB=MD，然后根据菱形的判定（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）即可解决问题．
（3）由MB=MA=MC=MD可求出∠BMC、∠DMC，从而可求出∠BMD，进而可求出菱形的其它内角．

解答：解：（1）四边形BNDM是平行四边形．
证明：如图1，
∵NO=MO，OB=OD，
∴四边形BNDM是平行四边形．

（2）四边形BNDM是菱形
证明：如图2，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴MB=MA=MC=MD．
∵四边形BNDM是平行四边形（已证），
∴平行四边形BNDM是菱形．

（3）如图2，
∵∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∴∠CAD=45°．
∵MB=MA=MC=MD，
∴∠MBA=∠MAB=30°，∠MDA=∠MAD=45°．
∴∠BMC=∠MBA+∠MAB=60°，∠DMC=∠MDA+∠MAD=90°．
∴∠BMD=∠BMC+∠DMC=60°+90°=150°．
∵四边形BNDM是菱形，
∴∠BND=∠BMD=150°，BN∥DM．
∴∠NBM+∠BMD=180°，∠BND+∠MDN=180°．
∴∠NBM=30°，∠MDN=30°．

点评：本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、平行线的性质等知识，有一定的综合性．