Question

7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，
（1）点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是13；
（2）点E、F、P分别在线段AB、BC、AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是$\frac{120}{13}$．

Answer 1

分析 （1）如图1中，取CD中点M，连接EM与AC交于点P，PE+PF的最小值=PE+PM=EM，由此即可解决问题．
（2）如图2，作点F关于AC的对称点M，连接EM与AC交于点P，当EM⊥CD时，PE+PF=PE+PM=EM，此时PE+PF最短，由此即可解决问题．

解答 （1）解：如图1，取CD中点M，连接EM与AC交于点P，
∵四边形ABCD是菱形，AC=10，DB=24，
∴AC⊥BD，AD=AB=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∵DM=MC，CF=FB，CD、CB关于AC对称，
∴M、F关于AC对称，
∴PE+PF=PE+PM=EM最小，
∵AE=EB．DM=MC，
∴AE=DM．AE∥DM，
∴四边形ADME是平行四边形，
∴ME=AD=13．
故答案为13．
（2）如图2，作点F关于AC的对称点M，连接EM与AC交于点P，
当EM⊥CD时，PE+PF=PE+PM=EM，此时PE+PF最短（垂线段最短），
∵S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•AC•BD=AB•EM，
∴$\frac{1}{2}$×10×24=13×EM，
∴EM=$\frac{120}{13}$．
故答案为$\frac{120}{13}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、勾股定理、垂线段最短、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用对称找到点P的位置，属于中考常考题型．