Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)、点B(3，0)、点C(4，y1)，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：

①二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；

②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；

③若y2＞y1，则x2＞4；

④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为﹣1和

其中正确结论的是_____（填序号）．

Answer 1

【答案】①④

【解析】

利用交点式写出抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y＝a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x＝4时，y＝a51＝5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于b＝﹣2a，c＝﹣3a，则方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，然后解方程可对④进行判断．

解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0），

∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

即y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，

∴当x＝1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；

当x＝4时，y＝a51＝5a，

∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；

∵点C（4，5a）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，5a），

∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；

∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，

∴方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，

整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝，所以④正确．

故答案为①④．