Question

3．如图，在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD于点E，交AD于点F，连接BF．
（1）试找出图中与△DEC相似的三角形，并选一个进行证明．
（2）当点F是AD的中点时，求BC边的长及sin∠FBD的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；
（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．

解答 解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．
所以△DEC相似的三角形是△FED，△FDC，△DCB，△CEB，△BAD；
（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=$\frac{1}{3}$；
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{CD}{FC}$，即可得：6x²=4，
解得：x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则CF=$\sqrt{6}$，
在Rt△CFD中，DF=$\sqrt{F{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BC=2DF=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．