【题目】已知抛物线与轴交于点、(点在点的左侧),与轴交于点.
(1)求点,点的坐标;
(2)我们规定:对于直线,直线,若,则直线;反过来也成立.请根据这个规定解决下列问题:
①直线与直线是否垂直?并说明理由;
②若点是抛物线的对称轴上一动点,是否存在点与点,点构成以为直角边的直角三角形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)点坐标为,点坐标为;(2) ①不垂直,理由详见解析;②存在,点的坐标为或.
【解析】
(1)令,求出x的值,根据点在点的左侧求出A的坐标,令,求出y的值即可求出C的坐标;
(2)①分别求出两条直线的斜率,然后根据两斜率的积不等于-1即可证明两直线不垂直;②根据点,点的坐标求出直线AC的函数表达式,然后对时与时两种情况分别讨论计算即可.
解:
(1)当时,,解得,
∵点在点的左侧,
∴点坐标为
当时,
∴点坐标为.
(2)①不垂直;由,得,由,得
∵
∴直线与直线不垂直;
②存在.
∵
∴抛物线的对称轴为直线.
设直线,根据题意得,解得
∴直线的函数表达式为
分两种情况:Ⅰ)当时,如图,根据新定义可设
∵点坐标为
∴
∴
直线的函数表达式为,当时,
此时点坐标为;
Ⅱ)当时,如图,根据新定义可设
∵点坐标为
∴,
∴直线的函数表达式为,当时,,
此时点坐标为;
综上,点的坐标为或.
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【题目】如图,已知二次函数,它与轴交于、,且、位于原点两侧,与的正半轴交于,顶点在轴右侧的直线:上,则下列说法:① ② ③ ④其中正确的结论有( )
A.①②B.②③C.②③④D.①②③④
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【题目】小华是数学兴趣小组的一名成员,他在学过二次函数的图像与性质之后,对的图像与性质进行了探究,探究过程如下,请你补充完整.
(1)小刚通过计算得到几组对应的数值如下
… | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | ||||||||
… | 0 | 4 | 6 | 6 | 4 | 6 | 6 | 4 | 0 | … |
填空:自变量的取值范围是__________________,__________.
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,描出上表中各组对应数值的点,并根据描出的点,画出该函数的图像.
(3)请你根据画出的图像,写出此函数的两条性质;
①__________________________________________;
②__________________________________________.
(4)直线经过,若关于的方程有4个不相等的实数根,则的取值范围为_________.
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【题目】阅读材料:一元二次方程ax2+bx+C=0(a≠0),当△≥0时,设两根为x1,x2,则两根与系数的关系为:x1+x2=;x1x2=.
应用:(1)方程x2﹣2x+1=0的两实数根分别为x1,x2,则x1+x2= ,x1x2= .
(2)若关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2=0的有两个实数根x1,x2,求m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若满足|x1|=x2,求实数m的值.
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【题目】如图,矩形纸片,是的中点,是上一动点,沿折叠,点落在点处;延长交于点,连接.
(1)求证:≌;
(2)当时,将沿折叠,点落在线段上点处.
①求证:∽;
②如果,,求的长.
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【题目】在Rt△ABC中,AB=AC,OB=OC,∠A=90°,∠MON=α,分别交直线AB、AC于点M、N.
(1)如图1,当α=90°时,求证:AM=CN;
(2)如图2,当α=45°时,问线段BM、MN、AN之间有何数量关系,并证明;
(3)如图3,当α=45°时,旋转∠MON,问线段之间BM、MN、AN有何数量关系?并证明.
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【题目】表中所列 的7对值是二次函数 图象上的点所对应的坐标,其中
x | … | … | |||||||
y | … | 7 | m | 14 | k | 14 | m | 7 | … |
根据表中提供的信息,有以下4 个判断:
① ;② ;③ 当时,y 的值是 k;④ 其中判断正确的是 ( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E为AB上一点,AE=2,点F在AD上,将△AEF沿EF折叠,当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时,折痕EF的长为_____.
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