观察下表:序号123-图形x xyx x x x xy yx xy yx x xx x x xy y yx xy y yx xy y yx x x x-我们把某格中字母的和所得到的多项式称为特征多项式.例如第1格的“特征多项式为4x+y．回答下列问题:(1)第2格的“特征多项式为9x+4y.第n格的“特征多项式为(n+1)2x+n2y,(2)若第1格的“特征多项式的值为-8.第2格的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．观察下表：

序号	1	2	3	…
图形	x　　　　x y x　　　　　x	x　　　x　　　x y　　　y x　　　　　　　x y　　　y x　　　x　　　x	x　　　x　　　x　　　　x y　　　y　　　y x　　　　　　　　　　　　x y　　　y　　　y x　　　　　　　　　　　　x y　　　y　　　y x　　　x　　　x　　　　x	…

我们把某格中字母的和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x+y．回答下列问题：
（1）第2格的“特征多项式”为9x+4y，第n格的“特征多项式”为（n+1）²x+n²y；（n为正整数）
（2）若第1格的“特征多项式”的值为-8，第2格的“特征多项式”的值为-11．
①求x，y的值；
②在此条件下，第n格的特征多项式是否有最小值？若有，求最小值和相应的n值；若没有，请说明理由．

分析（1）利用已知表格中x，y个数变化规律得出第2格的“特征多项式”以及第n格的“特征多项式”；
（2）①利用（1）中所求得出关于x，y的等式组成方程组求出答案；
②利用二次函数最值求法得出答案．

解答解：（1）第2格的“特征多项式”为：9x+4y；第n格的“特征多项式”为：（n+1）²x+n²y；
故答案为：9x+4y；（n+1）²x+n²y；

（2）①∵第1格的“特征多项式”的值为-8，第2格的“特征多项式”的值为-11，
∴根据题意可得：$\left\{\begin{array}{l}4x+y=-8\\ 9x+4y=-11\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=4}\end{array}\right.$；

②有最小值，
将x=-3，y=4代入（n+1）²x+n²y=（-3）（n+1）²+4n²=n²-6n-3，
设y=n²-6n-3，
方程为二次函数，抛物线开口向上，有最小值，
当$n=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2}=3$时，y取得最小值，
将n=3代入得y=-12，
当n=3时，最小值为-12．

点评此题主要考查了二元一次方程组的应用以及二次函数的应用和数字变化规律等知识，根据题意得出第n格的“特征多项式”是解题关键．

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