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【题目】如图,在RtABC中,∠ACB=90°AB=10BC=6,点O在射线上(点不与点重合),过点,垂足为,以点为圆心,为半径画半圆,分别交射线两点,设

1)如图,当点边的中点时,求的值;

2)如图,当点与点重合时,连接,求弦的长;

3)当半圆无交点时,直接写出的取值范围.

【答案】1;(2;(30x3x12

【解析】

1)首先由勾股定理求出AC的长,再证明AOD∽△ABC,得,代入相关数据从而可求出OD

2)首先根据等积法求出OD,再过点DDHAC,证明DOH∽△ABO,求出DHOH,最后在直角三角形DFH中运用勾股定理求出DF的长即可;

3)分点O在点C左侧和点C右侧两种情况,运用相似三角形的性质求解即可

1)在RtABC中,∵AB=10BC=6

∵点OAC边的中点,

ODAB,∠ACB=90°

∴∠ADO=ACB

又∵∠A=A

∴△AOD∽△ABC

,即,∴

2 ∵点O与点C重合,ODAB,

OD·AB=AC·BC,即10x=8×6

OD=

过点DDHAC,垂足为H,则有∠DHO=ACB=90°

∵∠DOH+BOD=90°,∠ABO+BOD=90°

∴∠DOH=ABO

∴△DOH∽△ABO

,即

OF=OD=

FH=OH+OF=

∴在RtDFH中,根据勾股定理,得:

3)①当点O在点C左侧,且与BC相切时,如图,

OD=x,则OC=x

AO=8-x

∵∠ADO=ACB,∠A=A

∴△AOD∽△ABC

AB=10BC=6AO=8-x

,解得,x=3,

∴当半圆OBC的左侧,且与BC无交点时,x的取值范围为:0x3

②当点O在点C右侧,且与BC相切时,如图,

方法同①,得x=12

∴当半圆OBC的右侧,且与BC无交点时,x的取值范围为: x12

综上,当半圆无交点时,x的取值范围是0x3x12

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