【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,点O在射线上(点不与点重合),过点作,垂足为,以点为圆心,为半径画半圆,分别交射线于、两点,设.
(1)如图,当点为边的中点时,求的值;
(2)如图,当点与点重合时,连接,求弦的长;
(3)当半圆与无交点时,直接写出的取值范围.
【答案】(1);(2);(3)0<x<3或x>12
【解析】
(1)首先由勾股定理求出AC的长,再证明△AOD∽△ABC,得,代入相关数据从而可求出OD;
(2)首先根据等积法求出OD,再过点D作DH⊥AC,证明△DOH∽△ABO,求出DH、OH,最后在直角三角形DFH中运用勾股定理求出DF的长即可;
(3)分点O在点C左侧和点C右侧两种情况,运用相似三角形的性质求解即可.
(1)在Rt△ABC中,∵AB=10,BC=6,
∴,
∵点O为AC边的中点,
∴.
∵OD⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠ADO=∠ACB,
又∵∠A=∠A,
∴△AOD∽△ABC.
∴,即,∴.
(2) ∵点O与点C重合,OD⊥AB,
∴OD·AB=AC·BC,即10x=8×6,
∴. 即OD=
过点D作DH⊥AC,垂足为H,则有∠DHO=∠ACB=90°.
∵∠DOH+∠BOD=90°,∠ABO+∠BOD=90°,
∴∠DOH=∠ABO,
∴△DOH∽△ABO,
∴,即,
∴,.
∵OF=OD=,
∴FH=OH+OF=.
∴在Rt△DFH中,根据勾股定理,得:
∴.
(3)①当点O在点C左侧,且与BC相切时,如图,
设OD=x,则OC=x,
∴AO=8-x,
∵∠ADO=∠ACB,∠A=∠A,
∴△AOD∽△ABC,
∴,
∵AB=10,BC=6,AO=8-x,
∴,解得,x=3,
∴当半圆O在BC的左侧,且与BC无交点时,x的取值范围为:0<x<3;
②当点O在点C右侧,且与BC相切时,如图,
方法同①,得x=12,
∴当半圆O在BC的右侧,且与BC无交点时,x的取值范围为: x>12;
综上,当半圆与无交点时,x的取值范围是0<x<3或x>12.
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【题目】图1是一种手机托架,使用该手机托架示意图如图3所示,底部放置手机处宽厘米,托架斜面长厘米,它有到共4个档位调节角度,相邻两个档位间的距离为0.8厘米,档位到的距离为2.4厘米.将某型号手机置于托架上(图2),手机屏幕长是15厘米,是支点且厘米(支架的厚度忽略不计).当支架调到档时,点离水平面的距离为_______厘米;当支架从档调到档时,点离水平面的距离下降了_________厘米.
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC.
(1)把△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使得点B的对应点E落在AB边上,用尺规作图的方法作出△DEC;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接AD,求证:AD=BC.
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【题目】曲线在直角坐标系中的位置如图所示,曲线是由半径为2,圆心角为的(是坐标原点,点在轴上)绕点旋转,得到;再将绕点旋转,得到;……依次类推,形成曲线,现有一点从点出发,以每秒个单位长度的速度,沿曲线向右运动,则点的坐标为___________;在第时,点的坐标为____________.
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【题目】为鼓励学生阅读,某校开展了网上阅读室活动,校教务处为了解学生的阅读情况,随机抽查了部分学生最近一周参加网上阅读室的天数,并用得到的数据绘制了如下两幅统计图.
请根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)__________(百分比),本次调查的参加网上阅读室的天数的中位数为________.
(2)请补全条形统计图.
(3)如果该校有3000名学生,请估算全校有多少名学生参加网上阅读室的天数不少于4天.
(4)在某班被调查的学生中,参加网上阅读室的天数不少于4天的有2名女同学,3名男同学.现要从中随机抽取2名同学代表班级参加阅读心得分享会,请用列表法或画树状图法求所抽取的2名同学恰好是一男一女的概率.
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【题目】随着经济快速发展,环境问题越来越受到人们的关注.某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况,随机调查了部分学生,调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类,并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图,请根据统计图回答下列问题:
(1)本次调查的学生共有___________人,估计该校名学生中“不了解”的人数是__________人;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)“非常了解”的人中有,两名男生,,两名女生,若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛,请用画树状图或列表的方法,求恰好抽到名男生的概率.
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【题目】一个四位数,记千位数字与个位数字之和为,十位数字与百位数字之和为,如果,那么称这个四位数为“对称数”
最小的“对称数”为 ;四位数与之和为最大的“对称数”,则的值为 ;
一个四位的“对称数”,它的百位数字是千位数字的倍,个位数字与十位数字之和为,且千位数字使得不等式组恰有个整数解,求出所有满足条件的“对称数”的值.
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