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【题目】如图,AB是圆O上的两点,∠AOB=120°C是劣弧的中点.

1)试判断四边形OACB的形状,并说明理由;

2)延长OAP,使得AP=OA,连接PC,若PC,求BC长.

【答案】1)四边形OACB是菱形,见解析;(23

【解析】

1)首先连接OC,由AB是圆O上的两点,∠AOB=120°,C是劣弧的中点,易证得△AOC与△BOC都是等边三角形,则可得AC=OA=OC=OB=BC,继而证得四边形OACB是菱形.
2)由AP=OA,易证得△OPC是直角三角形,然后利用勾股定理求得答案.

解:(1)四边形OACB是菱形.

理由:连接OC

∵∠AOB=120°C是劣弧的中点,

∴∠AOC=BOC=AOB=60°

OA=OC=OB

∴△AOCBOC都是等边三角形,

AC=OA=OC=OB=BC

∴四边形OACB是菱形.

2)∵AP=OAAC=OA

AP=AC

∴∠P=ACP=OAC=30°

∴∠OCP=90°

设圆O的半径为x,则OC=xOP=2x

x=3

∵四边形OACB是菱形.

BC=3

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