Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝_____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

过点C作CF⊥AB于点F，由旋转的性质可得AD＝AC，BE＝BC，利用“一线三等角“证得∠D＝∠CAF，从而可判定△DAM≌△ACF（AAS），则DM＝AF．同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），则BF＝EN＝2，再由AB＝5，可得AF，即DM的值．

解：过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：

∵旋转，

∴AD＝AC，BE＝BC，

∵DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，CF⊥AB于点F，

∴∠AMD＝∠AFC＝∠BFC＝∠BNE＝90°，

∴∠D+∠DAM＝90°，

∵∠CAD＝90°，

∴∠CAF+∠DAM＝90°，

∴∠D＝∠CAF，

∴在△DAM和△ACF中，

∴△DAM≌△ACF（AAS），

∴DM＝AF．

同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），

∴BF＝EN＝2，

∵AB＝5，

∴AF＝3，

∴DM＝3．

故答案为：3．