Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为　 　．

（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣，顶点坐标为（﹣，）

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，D（1，4）（2）

【解析】

(1)直接将A、B两点坐标代入抛物线解析式，用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)求得点H关于y轴的对称点H′，连接H′D与y轴交于点P，此时PD+PH最小.

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）

∴

解得

∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3

y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

∴顶点D（1，4）

（2）∵B（3，0），D（1，4）

∴中点H的坐标为（2，2）其关于y轴的对称点H′坐标为（﹣2，2）

连接H′D与y轴交于点P，则PD+PH最小

且最小值为： =

∴答案：