【题目】已知:如图,在中,的角平分线交边于.
(1)以边上一点为圆心,过两点作(不写作法,保留作图痕迹),再判断直线与的位置关系,并说明理由;
(2)若(1)中的与边的另一个交点为,,求线段与劣弧所围成的图形面积.(结果保留根号和)
【答案】解:(1)作图见解析;直线与相切.(2)
【解析】
(1)根据题意得:O点应该是AD垂直平分线与AB的交点;由∠BAC的角平分线AD交BC边于D,与圆的性质可证得AC∥OD,又由∠C=90°,则问题得证;
(2)设⊙O的半径为r.则在Rt△OBD中,利用勾股定理列出关于r的方程,通过解方程即可求得r的值;然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得“线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为:S△ODB-S扇形ODE=2-π.
(1)如图:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ADO,
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D,
∴∠CAD=∠OAD,
∴∠CAD=∠ADO,
∴AC∥OD,
∵∠C=90°,
∴∠ODB=90°,
∴OD⊥BC,
即直线BC与⊙O的切线,
∴直线BC与⊙O的位置关系为相切;
(2)设⊙O的半径为r,则OB=6-r,又BD=2,
在Rt△OBD中,
OD2+BD2=OB2,
即r2+(2)2=(6-r)2,
解得r=2,OB=6-r=4,
∴∠DOB=60°,
∴S扇形ODE=π,
S△ODB=ODBD=×2×2=2,
∴线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为:S△ODB-S扇形ODE=2-π.
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【题目】2020年新冠肺炎疫情影响全球,各国感染人数持续攀升,医用口罩供不应求,很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来,邵阳某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩,甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的1.5倍,两厂房各加工6000箱口罩,甲厂房比乙厂房少用5天.
(1)求甲、乙两厂房每天各生产多少箱口罩;
(2)已知甲、乙两厂房生产这种口罩每天的生产费分别是1500元和1200元,现有30000箱口罩的生产任务,甲厂房单独生产一段时间后另有安排,剩余任务由乙厂房单独完成.如果总生产费不超过81000元,那么甲厂房至少生产了多少天?
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【题目】图1是一种手机托架,使用该手机托架示意图如图3所示,底部放置手机处宽厘米,托架斜面长厘米,它有到共4个档位调节角度,相邻两个档位间的距离为0.8厘米,档位到的距离为2.4厘米.将某型号手机置于托架上(图2),手机屏幕长是15厘米,是支点且厘米(支架的厚度忽略不计).当支架调到档时,点离水平面的距离为_______厘米;当支架从档调到档时,点离水平面的距离下降了_________厘米.
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【题目】如图,在中,,点的坐标为,,、分别是射线、线段上的点,且,以、为邻边构造平行四边形,①若线段与交于点,当时,则_______;②把沿着进行折叠,当折叠后与的重叠部分的面积是平行四边形的时,则_______.
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【题目】2022年在北京将举办第24届冬季奥运会,很多学校都开展了冰雪项目学习.如图,滑雪轨道由AB,BC两部分组成,AB,BC的长度都为200米,一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点,若AB与水平面的夹角α为20°,BC与水平面的夹角β为45°,则他下降的高度为_____米.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数表达式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以O1为圆心,O1O为半径画圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2;以O2为圆心,O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3;以O3为圆心,O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4;…按此做法进行下去,其中的长___________.
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC.
(1)把△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使得点B的对应点E落在AB边上,用尺规作图的方法作出△DEC;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接AD,求证:AD=BC.
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【题目】随着经济快速发展,环境问题越来越受到人们的关注.某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况,随机调查了部分学生,调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类,并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图,请根据统计图回答下列问题:
(1)本次调查的学生共有___________人,估计该校名学生中“不了解”的人数是__________人;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)“非常了解”的人中有,两名男生,,两名女生,若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛,请用画树状图或列表的方法,求恰好抽到名男生的概率.
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