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【题目】已知:如图,在中,的角平分线边于

1)以边上一点为圆心,过两点作(不写作法,保留作图痕迹),再判断直线的位置关系,并说明理由;

2)若(1)中的边的另一个交点为,求线段与劣弧所围成的图形面积.(结果保留根号和

【答案】解:(1)作图见解析;直线相切.(2

【解析】

1)根据题意得:O点应该是AD垂直平分线与AB的交点;由∠BAC的角平分线ADBC边于D,与圆的性质可证得ACOD,又由∠C=90°,则问题得证;

2)设⊙O的半径为r.则在RtOBD中,利用勾股定理列出关于r的方程,通过解方程即可求得r的值;然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得“线段BDBE与劣弧DE所围成的图形面积为:SODB-S扇形ODE=2-π.

1)如图:连接OD

OA=OD

∴∠OAD=ADO

∵∠BAC的角平分线ADBC边于D

∴∠CAD=OAD

∴∠CAD=ADO

ACOD

∵∠C=90°,

∴∠ODB=90°,

ODBC

即直线BC与⊙O的切线,

∴直线BC与⊙O的位置关系为相切;

2)设⊙O的半径为r,则OB=6-r,又BD=2

RtOBD中,

OD2+BD2=OB2

r2+22=6-r2

解得r=2OB=6-r=4

∴∠DOB=60°,

S扇形ODE=π,

SODB=ODBD=×2×2=2

∴线段BDBE与劣弧DE所围成的图形面积为:SODB-S扇形ODE=2-π.

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