Question

如图，等腰△ABC的底边BC=10cm，顶角为120°，求它的外接圆的直径．

Answer 1

考点：垂径定理,等腰三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=

1

2

∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可半径，进而求得直径．

解答：解：连接OA交BC于D，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠AOC=∠BOA，
∵OB=OC，
∴BD=DC，OA⊥BC，
∴由垂径定理得：BD=DC=5cm，
∠OAC=

1

2

∠BAC=

1

2

×120°=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠DCO=90°-60°=30°
∴OC=2OD，
设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a²+5²=（2a）²，
a=

5 3

3

，
∴OC=2a=

10 3

3

，
∴外接圆的直径=2OC=

20 3

3

（cm）．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．