【题目】如图,∠BCA=90°,点O在△ABC的斜边AB上,以OB为半径的⊙O经过点B,与AC相切于点D,连结BD.
(1)求证;BD平分∠ABC;
(2)若∠ABC=60°,OB=2,计算△ABC的面积.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
(1)连接OD,由AC与圆相切,得到∠ODA为直角,再由∠C为直角,利用同位角相等两直线平行,得到OD与BC平行,由两直线平行内错角相等,及等边对等角,等量代换即可得证;
(2)由∠ABC的度数,求出∠A的度数,根据OD的长,利用锐角三角函数定义求出OA的长,由OA+OB求出AB的长,再利用锐角三角函数定义求出BC与AC的长,即可确定出三角形ABC面积.
解:(1)如图,连结OD,
∵∠BCA=90°,点O在△ABC的斜边AB上,以OB为半径的⊙O经过点B,与AC相切于点D,
∴∠ODA=∠C=90°,OB=OD,
∴BC∥OD,∠OBD=∠ODB,
∴∠CBD=∠ODB,
∴∠OBD=∠CBD,
∴BD平分∠ABC;
(2)∵∠ABC=60°,OB=2,且∠ODA=∠C=90°.
∴∠A=90°﹣60°=30°,OD=OB=2.
∴OA==4,
∴AB=2+4=6,
∴BC=6sin30°=3,AC=6cos30°=3,
∴S△ABC== .
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【题目】(2014年湖南怀化10分)设m是不小于﹣1的实数,使得关于x的方程x2+2(m﹣2)x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1,x2.
(1)若,求的值;
(2)求的最大值.
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°,对角线AC,BD相交于点O,动点P从点A出发,以4cm/s的速度,沿A→B的路线向点B运动;过点P作PQ∥BD,与AC相交于点Q,设运动时间为t秒,0<t<5.
(1)设四边形PQCB的面积为S,求S与t的关系式;
(2)若点Q关于O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N,当t为何值时,点P、M、N在一直线上?
(3)直线PN与AC相交于H点,连接PM,NM,是否存在某一时刻t,使得直线PN平分四边形APMN的面积?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】为增强学生的身体素质,教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时.为了解学生参加户外活动的情况,对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查,并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中共调查了多少名学生?
(2)补充频数分布直方图;
(3)求表示户外活动时间 1小时的扇形圆心角的度数.
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【题目】如图1和如图2分别是表示甲、乙两所学校男、女生比例的统计图,请判断下列说法是否正确,并说明理由.
(1)甲校的女生人数比男生人数多.
(2)乙校的男、女生人数一样多.
(3)甲校女生人数比乙校女生人数多.
(4)不能比较两个学校女生人数的多少.
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【题目】如图,等边△ABC中,BM是ABC内部的一条射线,且,点A关于BM的对称点为D,连接AD,BD,CD,其中AD、CD的延长线分别交射线BM于点E,P.
(1)依题意补全图形;
(2)若ABM ,求BDC 的大小(用含的式子表示);
(3)用等式表示线段PB,PC与PE之间的数量关系,并证明.
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【题目】已知锐角△ABC,∠ABC=45°,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,交AD于F.
(1)求证:△BDF≌△ADC;
(2)若BD=4,DC=3,求线段BE的长度.
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【题目】《国家学生体质健康标准》规定:体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀;达到80.0分至89.9分的为良好;达到60.0分至79.9分的为及格;59.9分及以下为不及格,某校为了了解九年级学生体质健康状况,从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试,测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示。
各等级学生平均分统计表
等级 | 优秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
平均分 | 92.1 | 85.0 | 69.2 | 41.3 |
各等级学生人数分布扇形统计图
(1)扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ;
(2)计算所抽取的学生的测试成绩的平均分;
(3)若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数,请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级。
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,且AO=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为点O,P为半圆上任意一点过P点作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM
(1)求∠OMP的度数;
(2)随着点P在半圆上位置的改变,∠CMO的大小是否改变,说明理由;
(3)当点P在半圆上从点B运动到点A时,直接写出内心M所经过的路径长.
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