Question

【题目】如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧，为的内心．

（1）求证：；

（2）设，用含的式子表示为___________，则求的最大值为_______．

（3）当时，的取值范围为，则________，________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6-x，3；（3）105°，145°．

【解析】

（1）由条件易证△ABC≌△ADE，得∠BAC＝∠DAE即可．

（2）PD＝AD－AP＝6－x，∵点P在线段BC上且不与B、C重合，∴AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．

（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．

（1）证明：在和中，（如图1）

∴

∴

∴

即．

（2）解：．

当时，值最小即的值最大．

∵，

∴

∴

∴的最大值为3．

故答案为：6－x，3；

（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α＋30°，

∵∠BAC＝80°，∠B＝30°，

∴∠PCA＝180°－∠BAC－∠B＝70°，∠PAC＝∠BAC－∠BAP＝80°－α，

∵I为△APC的内心

∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，

∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA

∴∠AIC＝180°－（∠IAC＋∠ICA）

＝180°－（∠PAC＋∠PCA）

＝180°－（80°－α＋70°）

＝α＋105°

∵0＜α＜80°，

∴105°＜α＋105°＜145°，即105°＜∠AIC＜145°，

∴m＝105，n＝145．

故答案为：105°，145°．