Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO绕点O旋转，BC边交x轴于点D，反比例函数经过点A和点B．

(1)如图①，连接AD，若OA＝OD＝5，且△OAD的面积为10，求反比例函数的解析式；

(2)如图②，连接OB，当∠AOD＝60°时，点D恰好是BC的中点，并且△OBD的面积为6，求OA的长．

Answer 1

【答案】(1)；(2)OA=8.

【解析】

（1）过点A作AE⊥x轴于点E，利用三角形的面积公式结合△OAD的面积为10，可求出AE的长度，由OA，AE的长利用勾股定理可求出OE的长度，进而可得出点A的坐标，由点A的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）连接AD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由平行线的性质可得出∠BDF＝∠AOD，结合点D恰好是BC的中点可得出AE＝OA，OE＝OA，BF＝OA，DF＝OA，S△OAD＝S△OAB＝2S△OBD＝12．由点A，B在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征，可得出OF＝OA，进而可得出OD＝OA，再利用三角形的面积公式结合S△OAD＝12，可求出OA的长度．

(1)在图①中，过点A作AE⊥x轴于点E．

∵S△OAD＝ODAE＝10，OD＝5，

∴×5AE＝10，

∴AE＝4，

∴OE＝＝3，

∴点A的坐标为(3，4)．

将A(3，4)代入y＝，得：4＝，

解得：k＝12，

∴反比例函数的解析式为y＝．

(2)在图②中，连接AD，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．

∵OA∥BC，

∴∠BDF＝∠AOD＝60°．

∵点D恰好是BC的中点，

∴AE＝OA，OE＝OA，BF＝OA，DF＝OA，S△OAD＝S△OAB＝2S△OBD＝12．

∵反比例函数经过点A和点B，

∴OEAE＝OFBF，

∴OF＝2OE＝OA，

∴OD＝OF﹣DF＝OA．

∴S△OAD＝ODAE＝OA2＝12，

∴OA＝8．