Question

【题目】如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，P是DE上一点，∠BPC＝90°，延长CP交AD于点F．⊙O经过P、D、F，交CD于点G．

（1）求证：DFDP；

（2）若，，求DG的长；

（3）连接BF，若BF是⊙O的切线，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DG．（3）．

【解析】

（1）根据题目的已知条件容易得到△DFP∽△ECP，再利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；

（2）因为∠ADC＝90°，所以FG一定是⊙O的直径，再根据弧、弦之间的关系得到∠DGF＝∠DFC，进而推出△FDG∽△CDF即可得到DG的长；

（3）根据直径所对的圆周角是直角得到，P，G三点共线，再通过证明∽、∽得到线段之间的比例关系，即可得到结论．

（1）证明：∵∠BPC＝90°，E是BC的中点，

∴ ECEP．

∵ 在矩形ABCD中，ADBC，

∴ △DFP∽△ECP．

∴ ．

即 DFDP．

（2）解：连接FG．

∵ 在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，

∴ FG是⊙O的直径．

∵ E是BC的中点，

∴ ．

∵ 在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，

∴ ．

∴ DFDP13－58．

∵ ⊙O中，DFDP，

∴ ．

∴ ∠DGF＝∠DFC．

又 ∠FDC＝∠FDC，

∴ △FDG∽△CDF．

∴ ．

即 ．

∴ ．

（3）．

如图，连接BF，FG，PG，

为直径，

，

又，

，P，G三点共线，

BF是⊙O的切线，

，

∽，

，

由（2）已得△FDG∽△CDF，

，

即，

，，

，

∽，

，

，

即．