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【题目】如图,在平面直角坐标系中, ABC 为坐标轴上的三点,且OAOBOC4,过点A 的直线AD BC 于点D,交y 轴于点GABD 的面积为8.过点C CEAD,交AB 交于F,垂足为E

1)求D 点的坐标;

2)求证:OFOG

3)在第一象限内是否存在点P,使得CFP 为等腰直角三角形?若存在,请求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由。

【答案】(1)D(22)(2)OG=OF=(3)P(4 )( )( ).

【解析】试题分析:

(1) 过点DAB的垂线DMDMABD的高. 根据已知条件容易求得线段AB的长,根据三角形的面积公式可以得到线段DM的长即点D的纵坐标. 利用已知条件易知BOC是等腰直角三角形,从而可知BMD也是等腰直角三角形. 利用等腰直角三角形的性质可知线段BM的长,进而获得点D的横坐标.

(2) 利用“同角的余角相等”可以得到∠EGC=OFC利用对顶角关系易得∠OGA=OFC. 利用已知条件和上述结论可以证明△AOG与△COF全等进而证明OF=OG.

(3) 由已知条件可知,当△PCF的三个内角分别等于90°时均存在满足题意的等腰直角三角形. 因此,本小题应该对这三种情况分别进行讨论. 根据题意画出各个情况的示意图. 当∠PCF=90°时,过点Py轴的垂线PN. 通过全等三角形可以证明PN=CONC=OF. 因为已知线段CO的长,只要求得线段OF的长就可以写出点P的坐标. 要求线段OF的长就是要求线段OG的长. 利用△AOG与△AMD的相似关系求得线段OG的长从而写出点P的坐标. 当∠CFP=90°时,过点Px轴的垂线PH. 利用已知条件可以证明△FHP与△COF全等从而利用全等三角形的性质和线段OFOC的长写出点P的坐标. 当∠CPF=90°时,过点Px轴的垂线PQ过点Py轴的垂线PR. 利用已知条件可以证明△CRP与△FQP全等从而可知四边形OQPR是正方形. 利用线段FQOF与线段OC的数量关系可以求得线段FQ的长,进而获得线段PQ的长. 利用这些条件即可写出点P的坐标.

试题解析:

(1)

如图,过点DDMOB,垂足为M.

OA=OB=4

AB=OA+OB=4+4=8.

∵△ABD的面积为8

DM=2.

OB=OC

∴在RtBOC中,∠OBC=45°

∴在RtBMD中,BM=DM=2.

OM=OB-BM=4-2=2.

∴点D的坐标为(2, 2).

(2) 证明CEAD

RtCEG中,∠EGC+GCE=90°,即∠EGC+OCF=90°

∵在RtCOF中,∠OFC+OCF=90°

EGC=OFC

OGA=OFC

∵在△AOG和△COF中,

AOG≌△COF (AAS).

OG=OFOF=OG.

(3) 根据题意,分别对下面三种情况进行讨论.

①∠PCF=90°CF=CP (如图①).

过点DDMOB,垂足为M. 过点PPNOC,垂足为N.

∵∠PCN+OCF=180°-PCF=180°-90°=90°

又∵在RtCOF中,∠CFO+OCF=90°

∴∠PCN=CFO.

∵在△PNC和△COF中,

PNC≌△COF (AAS).

PN=CO=4NC=OF.

DMOB

OGDM

∴△AOG∽△AMD

.

DM=2AO=4AM=AO+OM=4+2=6

OG=

NC=OF=OG=.

ON=OC+NC=4+=.

∴点P的坐标为(4, ).

②∠CFP=90°CF=PF (如图②).

过点PPHOB,垂足为H.

∵∠HFP+CFO=180°-CFP=180°-90°=90°

又∵在RtCOF中,∠OCF+CFO=90°

∴∠HFP=OCF.

∵在△FHP和△COF中,

FHP≌△COF (AAS).

PH=FO=FH=CO=4.

OH=OF+FH=+4=.

∴点P的坐标为(,).

③∠CPF=90°PF=PC (如图③).

过点PPQOB,垂足为Q. 过点PPROC,垂足为R.

∵∠CPR+FPR=CPF=90°

又∵∠FPQ+FPR=QPR=90°

∴∠CPR=FPQ.

∵在△CRP和△FQP中,

CRP≌△FQP (AAS).

CR=FQPR=PQ.

PR=PQ=OQ=OR.

OC=CR+OR=FQ+OQ=FQ+(OF+FQ)=2FQ+OF.

2FQ+=4.

FQ=.

PQ=OQ=OF+FQ=+=.

∴点P的坐标为(,).

综上所述,点P的坐标为(4, )(,)(,).

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