Question

10．如图，在△ABC中，O是AC上一动点（不与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠BCE=∠ACE，∠OCF=∠FCD，根据两直线平行，内错角相等可得∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠FCD，然后求出∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，再根据等角对等边可得OE=OC，同理可得OF=OC，从而得到OE=OF；
（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，由AO=CO，OE=OF可得四边形AECF是平行四边形，然后再证明∠ECF=90°可得四边形AECF是矩形．

解答 解：（1）OE=OF，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠FCD，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠OCF=∠FCD，
∴∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．

点评 此题主要考查了矩形的判定，以及等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边；有一个角为直角的平行四边形是矩形．