如图.已知线段OA1=1.过点A1作A1A2⊥OA1.且A1A2=1.连接OA2.再过点A1作A2A3⊥OA2.且A2A3=1.连接OA3.如此作出线段A1A2=A2A3=-=AnAn+1=1.也得到了n条线段OA1.OA2.OA3.-OAn．猜想与证明:(1)计算OA2= ,计算OA3= ,计算OA4= ．(2)根据以上计算.请猜想OAn的长度.并证明你的猜想．探究与证明:(1)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知线段OA₁=1，过点A₁作A₁A₂⊥OA₁，且A₁A₂=1，连接OA₂，再过点A₁作A₂A₃⊥OA₂，且A₂A₃=1，连接OA₃，如此作出线段A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，也得到了n条线段OA₁，OA₂，OA₃，…OA_n．
猜想与证明：
（1）计算OA₂=

；计算OA₃=

；计算OA₄=

．
（2）根据以上计算，请猜想OA_n的长度（用含n的代数式表示），并证明你的猜想．
探究与证明：
（1）利用上面的结论，可得，当OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…A_nA_n+1=3时，OA_n的长度（用含n的代数式表示）为

；
（2）若OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=a时，请猜想OA_n的长度（用含a，n的代数式表示），并证明你的猜想．

考点：勾股定理

专题：规律型

分析：猜想与证明：
（1）运用勾股定理直接计算，即可解决问题．
（2）类比（1）中的结论，可以猜测：OA_n=

；首先证明OAn-1=

n-1

，进而得到OAn=

(

n-1

)2+12

n-1+1

．
探究与证明：
（1）OA_n=3

．
（2）猜测：OA_n的长度=a

．首先证明：OAn-12=(n-1)a2，运用勾股定理得到OAn2=(n-1)a2+a2
=na²，即可解决问题．

解答：

解：猜想与证明：
（1）根据勾股定理得：OA₂=

12+12

；OA₃=

(

)2+12

；OA₄=

(

)2+12

=2；
故答案为：

；

；2．
（2）猜想OA_n=

；故答案为

．
证明如下：由题意得，OAn-1=

n-1

，
故OAn=

(

n-1

)2+12

n-1+1

．
探究与证明：
（1）当OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…A_nA_n+1=3时，OA_n=3

，
故答案为3

．
（2）当OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=a时，请猜想OA_n的长度=a

．
证明：∵OAn-12=(n-1)a2，
∴OAn2=(n-1)a2+a2=na²，
∴OAn=a

．

点评：该题主要考查了勾股定理及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理的内容，灵活运用勾股定理来解题．

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