Question

12．关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x₁，x₂满足|x₁|+|x₂|=x₁•x₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=（2k+1）²-4（k²+1）=4k²+4k+1-4k²-4=4k-3＞0，求出k的取值范围；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k²+1，结合k的取值范围解方程即可．

解答 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）²-4（k²+1）=4k²+4k+1-4k²-4=4k-3＞0，
解得：k＞$\frac{3}{4}$；
（2）∵k＞$\frac{3}{4}$，
∴x₁+x₂=-（2k+1）＜0，
又∵x₁•x₂=k²+1＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∴|x₁|+|x₂|=-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=2k+1，
∵|x₁|+|x₂|=x₁•x₂，
∴2k+1=k²+1，
∴k₁=0，k₂=2，
又∵k＞$\frac{3}{4}$，
∴k=2．

点评 此题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根；（4）x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$；（5）x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．