Question

若将抛物线y=2x²左右平移使其与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，若△AOB的面积为8．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）在平移后的抛物线上是否存在一点P，使得△AOP的面积与△ABO的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（1）设平移后抛物线的解析式为y=2（x+h）²，再利用h分别表示A点和B点坐标，然后根据三角形面积公式得到

1

2

|h|•2h²=8，解得h=±2，所以平移后抛物线的解析式为y=2（x+2）²，或平y=2（x-2）²；
（2）分类讨论：当平移后抛物线的解析式为y=2（x+2）²时，由于△AOP的面积与△ABO的面积相等，而两个三角形等底，则点P与点B的纵坐标相等，根据二次函数的性质得点P与点B关于直线x=-2对称，易得P点坐标为（-4，8）；用同样的方法得到当平移后抛物线的解析式为y=2（x-2）²时P点坐标为（4，8）．

解答：解：（1）设平移后抛物线的解析式为y=2（x+h）²，
则A点坐标为（h，0），B点坐标为（0，2h²），
∵△AOB的面积为8，
∴

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2

|h|•2h²=8，解得h=±2，
∴平移后抛物线的解析式为y=2（x+2）²，或平y=2（x-2）²；
（2）存在．
当平移后抛物线的解析式为y=2（x+2）²时，B点坐标为（0，8）
∵△AOP的面积与△ABO的面积相等，
∴点P与点B的纵坐标相等，
∴点P与点B关于直线x=-2对称，
∴P点坐标为（-4，8）；
当平移后抛物线的解析式为y=2（x-2）²时，B点坐标为（0，8）
同理可得P点坐标为（4，8）．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．