Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD＝8，＝，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；

（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CE⊥AB，

∴∠CEB＝90°，

∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，

∴∠A＝∠ECB，

∵∠BCE＝∠BCD，

∴∠A＝∠BCD，

∵OC＝OA，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠ACO＝∠BCD，

∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，

∴∠DCO＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠A＝∠BCE，

∴tanA＝＝tan∠BCE＝＝，

设BC＝k，AC＝2k，

∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，

∴△ACD∽△CBD，

∴＝＝，

∵AD＝8，

∴CD＝4．