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【题目】综合题
(1)探究新知:如图1,已知△ABC与△ABD的面积相等,试判断AB与CD的位置关系,并说明理由.

(2)结论应用:① 如图2,点M,N在反比例函数 (k>0)的图象上,过点M作ME⊥y轴,过点N作NF⊥x轴,垂足分别为E,F.试证明:MN∥EF.

② 若①中的其他条件不变,只改变点M,N的位置如图3所示,请判断 MN与EF是否平行?请说明理由.

【答案】
(1)解:分别过点C,D,作CG⊥AB,DH⊥AB,垂足为G,H,

则∠CGA=∠DHB=90°.

∴ CG∥DH.

∵ △ABC与△ABD的面积相等,

∴ CG=DH.

∴ 四边形CGHD为平行四边形.

∴ AB∥CD


(2)解:①连结MF,NE.

设点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2).

∵ 点M,N在反比例函数 (k>0)的图象上,

∵ ME⊥y轴,NF⊥x轴

∴ OE=y1,OF=x2

∴ S△EFM

S△EFN

∴S△EFM =S△EFN

由(1)中的结论可知:MN∥EF.

②如图3,由(1)中的结论可知:MN∥EF.


【解析】(1)根据两三角形面积相等,得到同底等高,且两高平行,得到四边形CGHD为平行四边形;得到AB∥CD;(2)根据点M,N在反比例函数的图象上,ME⊥y轴,NF⊥x轴,得到S△EFM =S△EFN,由(1)中的结论得到MN∥EF.

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