Question

已知：直线y=﹣x+3与x轴y轴分别交于点A、点B，抛物线y=﹣x²+bx+c经过点A和点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点C（0，2），点P（m，0）是线段OA上的一点（不与O、A重合），过点P作PM垂直x轴，交抛物线于点M，连接BM、AC、AM，设四边形ACBM的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，点D是线段OP的中点，连接BD，当S取最大值时，试求直线BD与AC所成的锐角度数．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据一次函数解析式求出A、B坐标，代入二次函数解析式即可求出二次函数解析式；

（2）根据题意作出辅助线，根据S=S_梯形OPMB﹣+S_△APM﹣S_△OAC可得函数解析式；

（3））由（2）中函数关系式得出m及S的值，根据点D是线段OP的中点得出D点坐标，利用待定系数法求出直线AC、BD的解析式，故可得出G点坐标，利用两点间的距离公式求出DG的长，过点D作DF⊥AC于点F，求出直线DF的解析式，故可得出F点的坐标，求出DF的长，利用锐角三角函数的定义即可得出结论．

【解答】解：（1）在y=﹣x+3中，

当y=0时，x=4，所以A（4，0），

当x=0时，y=3，所以B（0，3），

∵抛物线y=﹣x²+bx+c经过A、B，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x²+x+3；

 

（2）如图1所示，

∵P（m，0），

∴OP=m，PM=﹣m²+m+3

∴S=S_梯形OPMB+S_△APM﹣S_△OAC

=（PM+OB）•OP+AP•PM﹣OA•OC

=（﹣m²+m+3+3）•m+（4﹣m）（﹣m²+m+3）﹣×4×2

=﹣m²+3m+2（0＜m＜4）；

 

（3）∵由（2）知S=﹣m²+3m+2，

∴当m=2时，S_最大=5，

∴P（2，0）．

∵点D是线段OP的中点，

∴D（1，0）．

设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵A（4，0），C（0，2），

∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+2．

设直线BD的解析式为y=ax+c（a≠0），

∵B（0，3），D（1，0），

∴，解得，

∴直线BD的解析式为y=﹣3x+3，

∴，解得，

∴G（，），

∴DG===．

过点D作DF⊥AC于点F，

∵直线AC的解析式为y=﹣x+2，

∴设直线DF的解析式为y=2x+d，

∵D（1，0），

∴2+d=0，解得d=﹣2，

∴设直线DF的解析式为y=2x﹣2，

∴，解得，

∴F（，），

∴DF==，

∴sin∠DGF===，

∴∠DGF=45°，即直线BD与AC所成的锐角是45°．

【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形面积公式、函数图象上点的坐标特征等知识，综合性强，值得关注．