Question

20．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，DC切⊙O于C，过点A作AE⊥DC（垂足为E）交⊙O于发，CH⊥AB于H，连接HF．
（1）求证：CE=CH；
（2）若BD=$\frac{1}{3}$AD=3，求FH的长．

Answer 1

分析 （1）延长CH交圆于G，连接AC，AG，根据垂径定理得到$\widehat{AC}=\widehat{AG}$，求得∠ACH=∠G根据三角形的内角和得到∠EAC+∠ACE=∠ACH+∠CAH=90°，根据弦切角定理得到∠ACE=∠G，等量代换得到∠EAC=∠HAC，根据角平分线的性质即可得到结论；
（2）根据BD=$\frac{1}{3}$AD=3，得到AO=BO=BD=3，求得OD=6，根据切线的性质得到∠OCD=90°，求得∠D=30°，得到∠COD=60°根据切割线定理得到CE²=EF•AE，求得EF=$\frac{C{E}^{2}}{AE}$=$\frac{3}{2}$，得到AF=AE-EF=3，根据余弦定理得即可得到结论．

解答 解：（1）延长CH交圆于G，连接AC，AG，
∵AB是⊙O的直径，CH⊥AB于H，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AG}$，
∴∠ACH=∠G，
∵AE⊥DC，
∴∠E=90°，
∴∠EAC+∠ACE=∠ACH+∠CAH=90°，
∵DC切⊙O于C，
∴∠ACE=∠G，
∴∠ACE=∠ACH，
∴∠EAC=∠HAC，
∴CE=CH；

（2）∵BD=$\frac{1}{3}$AD=3，
∴AO=BO=BD=3，
∴OD=6，
连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∵OC=$\frac{1}{2}$OD，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴AC=CD=$\sqrt{3}$OC=3$\sqrt{3}$，
∴CE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AE=$\frac{9}{2}$，AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{9}{2}$，
∵DC切⊙O于C，
∴CE²=EF•AE，
∴EF=$\frac{C{E}^{2}}{AE}$=$\frac{3}{2}$，
∴AF=AE-EF=3，
根据余弦定理得：HF²=AF²+AH²-2AF•AHcos60°=3²+（$\frac{9}{2}$）²-2×$3×\frac{9}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{63}{4}$，
∴FH=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，余弦定理，正确的作出辅助线是解题的关键．