【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,AD为BC边上的高,点P从点B以每秒个单位长度的速度向终点C运动,同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向终点A运动,其中一个点到达终点时,两点同时停止.
(1)求BC的长;
(2)设△PDQ的面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)在动点P、Q的运动过程中,是否存在PD=PQ,若存在,求出△PDQ的周长,若不存在,请说明理由.
【答案】(1) 4;(2)①S△PDQ=-
t2+
t(0≤t≤2);②S△PDQ=
t -
t2 (2<t≤4);(3)存在PD=PQ,此时△PDQ的周长为3
.
【解析】
(1)根据等腰三角形性质三线合一和含30°锐角的直角三角形的性质即可解答;(2)分当点P在线段BD上运动和当点P在线段DC上运动,过点Q作QM⊥BC于点M,用含时间t的代数式分别表示出PD=BD-BP=2-
t或者PD= BP - BD =
t- 2
,、QM
CQ=
t的长,根据三角形面积公式即可求解;(3)根据题意可得,当PD=PQ时,PD=PQ,
用含t的式子分别表示出Rt△PMQ的三边,由勾股定理得QM2+MP2=QP2,解得t=3后得到△DPQ是等边三角形,边长为,从而求出周长.
解:(1)△ABC中,∵AB=AC=4,∠BAC=120°,AD⊥ BC,
∴∠B=∠C=30°,BD=DC
∴AD=AB=2,由勾股定理得:BD=DC= 2
∴BC=2BD=4;
(2)过点Q作QM⊥BC于点M,
∵CQ=t,∠C=30°,BP=t
∴QM= CQ=
t ,
①当点P在线段BD上运动时,即0≤t≤2,如图:
PD=BD-BP=2-
t
∴S△PDQ=×PD×QM=
×(2
-
t)×
t=-
t2+
t(0≤t≤2);
②当点P在线段DC上运动时,即2<t≤4,如图:
PD= BP - BD =t- 2
,方法同①得:
S△PDQ=×PD×QM=
×(
t -2
)×
t=
t -
t2 (2<t≤4);
(3)当点P在BD上运动时,∠BDQ>90°,PD≠PQ,所以若PD=PQ=t -2
,则PD=PQ如(2)②中图形,此时PD=PQ=
t- 2
,PC=BC-BP=4
-
t,MC=
=
t ,MP=MC-PC=
t-(4
-
t)=
t-4
,
Rt△PMQ中,∵QM2+MP2=QP2
∴(t)2+(
t-4
)2=(
t -2
)2,
化简得:t2-6t+9=0,即(t-3)2=9,∵t >0
解得t=3,即PD=PQ=t -2
=3
-2
=
=PC,
又∵∠C=30°,∴∠C=∠PQC=30°,∠DPQ=∠C+∠PQC=60°,即△DPQ是等边三角形,
∴△DPQ的周长=3PD=3.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,AB=8.
(1)利用尺规,作∠CAB的平分线,交⊙O于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接CD,OD,若AC=CD,求∠B的度数;
(3)在(2)的条件下,OD交BC于点E.求出由线段ED,BE,所围成区域的面积.(其中
表示劣弧,结果保留π和根号)
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【题目】下列命题中:
①长为的线段
沿某一方向平移
后,平移后线段
的长为
;
②三角形的高在三角形内部;
③六边形的内角和是外角和的两倍;
④平行于同一直线的两直线平行;
⑤两个角的两边分别平行,则这两个角相等,真命题个数有( )
A.B.
C.
D.
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【题目】计算:
(1)(﹣5)﹣(+3)+(﹣9)﹣(﹣7)
(2)(+5)+(﹣3
)+(﹣6
)+(﹣15
)
(3)|﹣6|+(﹣8)+|﹣3﹣
|
(4)78×(﹣)+(﹣11)×(﹣
)+(﹣33)×0.6
(5)(﹣2)2010×(﹣0.5)2009+(﹣6)×7
(6)﹣14﹣×[2﹣(﹣3)﹣2]
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值.
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【题目】某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出300件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出200件,假定每月销售件数(件)与价格
(元/件)之间满足一次函数关系.
(1)、试求与
之间的函数关系式;
(2)、当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?
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【题目】二次函数y=(m-2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0,5)
(1)求m的值,并写出二次函数的表达式;
(2)求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴。
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【题目】如图,湖心岛上有一凉亭,现欲利用湖岸边的开阔平整地带,测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB(见示意图),可供使用的工具有测倾器、皮尺.
(1)请你根据现有条件,设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB的方案,画出测量方案的平面示意图,并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用m,n,…表示,角用α,β,…表示,测倾器高度忽略不计);
(2)根据你所测量的数据,计算凉亭到湖面的高度AB(用字母表示).
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