Question

如图，在平面直角坐标系中，以CD为弦的⊙P交y轴于点A、B，已知A、C、D三点的坐标分别为A（0，-8）、C（-4，0）、D（4，0）．
（1）求⊙P的半径；
（2）如图2，连接DP并延长交⊙P于E，点Q是直径DE上的一个动点，求OQ的长的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连接PD，设⊙P的半径为r，根据坐标与图形性质得OC=OD=4，OA=8，在Rt△ODP中，根据勾股定理得（8-r）²+4²=r²，然后解方程即可得到⊙P的半径；
（2作OQ′⊥DE于Q′，连接OE，如图2，先利用面积法计算出OQ′=

12

5

，接着在Rt△OPQ′中，根据勾股定理可计算出PQ′=

9

5

，则EQ′=PE+PQ′=

34

5

，
然后在Rt△OQ′E中，用勾股定理计算出OE=2

13

，由于点Q在点Q′时，OQ最短；点Q在点E时，OQ最长，于是可得OQ的长的取值范围．

解答：解：（1）连接PD，设⊙P的半径为r，
∵A（0，-8）、C（-4，0）、D（4，0），
∴OC=OD=4，OA=8，
在Rt△ODP中，OP=OA-PA=8-r，PD=r，OD=4，
∵OP²+OD²=PD²，
∴（8-r）²+4²=r²，解得r=4，
即⊙P的半径为5；
（2）作OQ′⊥DE于Q′，连接OE，如图2，
∵PD=5，
∴PE=5，OP=3，
∵

1

2

OQ′•PD=

1

2

•OP•OD，
∴OQ′=

3×4

5

=

12

5

，
在Rt△OPQ′中，PQ′=

OP2-OQ′2

=

9

5

，
∴EQ′=PE+PQ′=5+

9

5

=

34

5

，
在Rt△OQ′E中，OE=

OQ′2+EQ′2

=2

13

，
∵点Q在点Q′时，OQ最短；点Q在点E时，OQ最长，
∴OQ的长的取值范围为

9

5

≤OQ≤2

13

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推理；会运用勾股定理计算线段的长；理解坐标与图形性质．