Question

【题目】数学活动课上，老师提出问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，点D是AB的中点，点E是BC上一个动点，连接AE、DE．问CE的长是多少时，△AED的周长等于CE长的3倍．设CE＝xcm，△AED的周长为ycm（当点E与点B重合时，y的值为10）．

小牧根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小牧的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
y/cm	8.0	7.7	7.5	7.4		8.0	8.6	9.2	10

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（2）建立平面直角坐标系，描出上表中对应值为坐标的点，画出该函数的图象，如图2；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：

①当CE的长约为　 　cm时，△AED的周长最小；

②当CE的长约为　 　cm时，△AED的周长等于CE的长的3倍．

Answer 1

【答案】（1）7.6；（2）见解析；（3）①1.5；②2.7

【解析】

（1）x=2cm，即CE=2cm，由勾股定理求出AB=5cm，求出AD=2.5，DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE=AC=1.5，由勾股定理求出AE≈3.6，即可得出结果；

（2）根据（1）表对应的坐标值进行描点，画出图象即可；

（3）①由（2）画出的函数图象得出：当CE的长约为1.5cm时，△AED的周长最小即可；

②在（2）函数图象中，画出直线y=3x的图象，直线y=3x与原函数图象的交点即为△AED的周长等于CE的长的3倍值时对应x的值，即可得出结果．

（1）x＝2cm，即CE＝2cm，

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，

∴AB＝5cm，

∵BC＝4，点D是AB的中点，

∴AD＝2.5，DE是△ABC的中位线，

∴DEAC＝1.5，

∴AE3.6，

∴y＝AE+DE+AD＝3.6+1.5+2.5＝7.6；

故答案为：7.6；

（2）根据（1）表对应的坐标值进行描点，画图象；如图2所示：

（3）①由（2）画出的函数图象，

当CE的长约为1.5cm时，△AED的周长最小；

故答案为：1.5；

②在（2）函数图象中，画出直线y＝3x的图象，如图3所示：

直线y＝3x与原函数图象的交点即为△AED的周长等于CE的长的3倍值时对应x的值，x≈2.7cm，

故答案为：2.7．