Question

13．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①4a-2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a-b+1＞0，其中正确结论的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据已知画出图象，把x=-2代入得：4a-2b+c=0，由抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-2+{x}_{1}}{2}$＞$\frac{1}{2}$，即$\frac{b}{a}$＜1，由a＜0，两边都乘以a得：b＞a，对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＜0，则b＜0，得出a＜b＜0．由一元二次方程根与系数的关系知x₁•x₂=$\frac{c}{a}$＜-2，结合a＜0得2a+c＞0，；把x=-1代入得到a-b+c＞0；根据-$\frac{b}{2a}$＜0，推出a＜0，b＜0，a+c＞b，计算2a+c=2b-2a＞0；代入得到2a-b+1=-$\frac{1}{2}$c+1＞0，根据结论判断即可．

解答 解：根据二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，画出图象为：如图
把x=-2代入得：4a-2b+c=0，
∴①正确；
由图象开口向下知a＜0，
由y=ax²+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x₁，0 ），且1＜x₁＜2，
则该抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-2+{x}_{1}}{2}$＞$\frac{1}{2}$，即$\frac{b}{a}$＜1，
由a＜0，两边都乘以a得：b＞a，
∵a＜0，对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＜0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0．
∴②正确；
∵（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁，
∴取符合条件1＜x₁＜2的任何一个x₁，-2•x₁＜-2，
∴由一元二次方程根与系数的关系知 x₁•x₂=$\frac{c}{a}$＜-2，
∴不等式的两边都乘以a（a＜0）得：c＞-2a，
∴2a+c＞0，
∴③正确；
④由4a-2b+c=0得 2a-b=-$\frac{c}{2}$，
而0＜c＜2，∴-1＜-$\frac{c}{2}$＜0
∴-1＜2a-b＜0
∴2a-b+1＞0，
∴④正确．
所以①②③④三项正确．
故选D．

点评 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与X轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子得符号是解此题的关键．