Question

1．如图所示，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，D为AB中点，以点D为顶点的动角∠EDF绕D点旋转，与边AC交于点E，与边BC交于点F．求证：
（1）△DEF为等腰直角三角形；
（2）求四边形CEDF的面积．

Answer 1

分析 （1）连接CD，首先根据等腰三角形的性质可得∠DCA=∠DCB=$\frac{1}{2}$∠BCA=45°，CD⊥AB，∠A=∠B=45°，∠CDE=∠FDB，CD=DB可以利用ASA定理证明△AED≌△BFD，进而得到DE=DF；
（2）四边形CEDF的面积=S_△CDE+S_△CDF=S_△BDF+S_△CDF=S△CDB=$\frac{1}{2}$BD•CD，计算即可．

解答 解：（1）∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，AB=4$\sqrt{2}$，
∵D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∴∠DCA=∠DCB=$\frac{1}{2}$∠BCA=45°，
AD=CD=BD=2$\sqrt{2}$，
∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△AED和△BFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠BDF}\\{CD=BD}\\{∠B=ECD=45°}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BFD，
∴DE=DF，
即△DEF为等腰直角三角形；
（2）四边形CEDF的面积=S_△CDE+S_△CDF=S_△BDF+S_△CDF=S△CDB=$\frac{1}{2}$BD•CD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等是证明角相等，线段相等的重要方法．