Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=2BC，点D在⊙O上，∠DAO=30°．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）如图，作辅助线，证明∠ODC=90°即可解决问题；
（2）如图，作辅助线，将阴影部分分割为三角形和扇形，分别求两部分的面积问题即可解决．

解答：解：（1）相切．连接OD、DB，
∵∠DAO=30°，OD=OA，
∴∠DAO=∠ADO=30°，
∴∠BOD=60°；
∵OB=OD，
∴△DOB为等边三角形，
∴OB=OD=BD，∠BDO=∠OBD=60°，
∵AB=2BC=2OB，
∴BC=OB=BD，
∴∠BDC=30°，
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°，
∴CD与⊙O相切．
（2）作DE⊥AB于点E，
∵OB=2，∠DOB=60°，
∴DE=

3

，
∴S_阴影=S_△DAO+S_扇形OBD=

1

2

×2×

3

+

60×22π

360

=

3

+

2π

3

．

点评：该题以圆为载体，以切线的判定及求阴影部分的面积为为线索构造而成；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．