Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．点P是劣弧上任一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长相交于点F．

（1）设∠CPF＝α，∠BDC＝β，求证：α＝β+90°；

（2）若OE＝BE，设tan∠AFC＝x，．①求∠APC的度数；

②求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①∠APC＝60°；②y＝x，（0＜x＜）．

【解析】

（1）CD⊥AB，则∠APC＋∠CDB＝90，即：180α+β＝90，即可求解；

（2）①证明△BOD为等边三角形，则∠CDB＝30，即可求解；

②在△CBM中，CH＋HB＝BC得：，得：，即可求解．

（1）∵CD⊥AB，

∴∠APC＋∠CDB＝90，即：180﹣α+β＝90，

∴α＝β+90；

（2）如图1，连接OD，

①OE＝BE，OB⊥CD，设圆的半径为r，

∴∠BOD＝∠OBD＝∠ODB＝60，

即：△BOD为等边三角形，

∴BC＝r，

∴∠CDB＝30，

∴∠APC＝90﹣30＝60；

②连接BC，过点M组MH⊥BC于点H，

则∠MCB＝∠FAB，∴∠CMH＝∠F，

在△CBM中，设BC＝r，∠CBA＝60，

∴MH＝BMsin∠CBA＝MB，

BH＝MB，CH＝MHtan∠CMH＝MHx，

CH+HB＝BC，即，

，而AM+BM＝2r，

即：，

∴1x＝1+y，

即：y＝x，（0＜x）．