【题目】如图1,在四边形ABCD中,∠DAB被对角线AC平分,且AC2=ABAD.我们称该四边形为“可分四边形”,∠DAB称为“可分角”.
(1)如图2,在四边形ABCD中,∠DAB=60°,AC平分∠DAB,且∠BCD=150°,求证:四边形ABCD为“可分四边形”;
(2)如图3,四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,如果∠DCB=∠DAB,则求∠DAB的度数;
(3)现有四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,且AC=4,则△DAB的最大面积等于 .
【答案】
(1)
证明:∵∠DAB=60°,AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB=30°,
∴∠D+∠ACD=180°﹣30°=150°,
∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°,
∴∠D=∠ACB,
∴△ADC∽△ACB.
∴AD:AC=AC:AB,
∴AC2=ABAD,
∴四边形ABCD为“可分四边形”
(2)
解:∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠BAC,
∵AC2=ABAD,
∴AD:AC=AC:AB,
∴△ADC∽△ACB,
∴∠D=∠ACB,
∵∠DCB=∠DAB,
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=2∠DAC,
∵∠DAC+∠D+∠ACB=180°,
∴∠DAC+2∠DAC=180°,
解得:∠DAC=60°,
∴∠DAB=120°
(3)8
【解析】(3)∵四边形ABCD为“可分四边形”,AC=4,
∴ABAD=AC2=16,
当DA⊥DB时,△DAB的最大,最大面积为8,
故答案为:8.
(1)由已知得出∠DAC=∠CAB=30°,由三角形内角和定理得出∠D+∠ACD=150°,由∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°,得出∠D=∠ACB,证明△ADC∽△ACB.得出对应边成比例,得出AC2=ABAD,即可得出结论;(2)由已知条件可证得△ADC∽△ACB,得出D=∠ACB,再由已知条件和三角形内角和定理得出∠DAC+2∠DAC=180°,求出∠DA=60°,即可得出∠DAB的度数;(3)根据“可分四边形”的定义求出ABAD,计算即可.
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【题目】一节地理课结束后,小明拿出地球仪,突发奇想:地球仪环形支架的长度比地球仪上画的赤道的长度长多少? 活动一:如图1,求大圆与小圆的周长之差?
活动二:如图2,以O为圆心,任意画出两个圆,两圆半径相差6cm,求大圆与小圆的周长之差?
活动三:若地球仪与环形支架之间的间隙为k(cm),请直接写出地球仪环形支架的长度比地球仪上画的赤道的长度长多少?
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【题目】如图,在△ABC中,点E在AC上,∠AEB=∠ABC.
(1)图1中,作∠BAC的角平分线AD,分别交CB、BE于D、F两点,求证:∠EFD=∠ADC;
(2)图2中,作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD,分别交CB、BE的延长线于D、F两点,试探究(1)中结论是否仍成立?为什么?
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【题目】如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线:y=x2上的动点(点在第一象限内).连接 OP,过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ,交y轴于点M.作PA丄x轴于点A,QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m.
(1)如图1,当m= 时,
①求线段OP的长和tan∠POM的值;
②在y轴上找一点C,使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标;
(2)如图2,连接AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E.
①用含m的代数式表示点Q的坐标;
②求证:四边形ODME是矩形.
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【题目】如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C三点.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P.
①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l于点H,连结OP,试求△OPH的面积;
②当m=﹣3时,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F.是否存在这样的点P,使以P,E,F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】定义:如图1,等腰△ABC中,点E,F分别在腰AB,AC上,连结EF,若AE=CF,则称EF为该等腰三角形的逆等线.
(1)如图1,EF是等腰△ABC的逆等线,若EF⊥AB,AB=AC=5,AE =2,求逆等线EF的长;
(2)如图2,若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点,且点E,F分别在AB,AC上,求证:EF为等腰△ABC的逆等线;
(3)如图3,边长为6的等边三角形△AOC的边OC与X轴重合,EF是该等边三角形的逆等线.F点的坐标为(5,);试求点E的坐标(若需要,本题可以直接应用结论:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.)
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【题目】如图2是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图,定长的轮架杆OA,OB,OC抽象为线段,有OA=OB=OC,且∠AOB=120°,折线NG﹣GH﹣HE﹣EF表示楼梯,GH,EF是水平线,NG,HE是铅垂线,半径相等的小轮子⊙A,⊙B与楼梯两边都相切,且AO∥GH.
(1)如图2①,若点H在线段OB时,则 的值是;
(2)如果一级楼梯的高度HE=(8 +2)cm,点H到线段OB的距离d满足条件d≤3cm,那么小轮子半径r的取值范围是 .
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【题目】如图所示,∠A0B=420,点P为∠A0B内一点,分别作出P点关于OA、OB的对称点P1,P2,连接P1P2交OA于M,交OB于N,P1P2=15,则△PMN的周长为________,∠MPN ________.
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