Question

【题目】如图，边长为的正方形中，P是对角线上的一个动点（点P与A、C不重合），连接，将绕点B顺时针旋转90°到，连接，与交于点E，延长线与（或延长线）交于点F．

（1）连接，证明：；

（2）设，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，；

（3）猜想与的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2），当x=3或1时，；（3）PF=EQ，证明见解析；

【解析】

（1）证出，由SAS证明可得结论；

（2）如图证明，列比利式可得y与x的关系式，根据计算CE的长，即y的长，代入关系式解方程可得x的值；

（3）如图做辅助线，当F在边AD上时，构建全等三角形，证明，得EQ=PG，由F、A、G、P四点共圆，得，所以△FPG是等腰直角三角形，可得结论；如图，当F在AD延长线上时，同理可得结论．

（1）证明：

∵线段BP绕点B顺时针旋转得到线段BQ，

∴BP=BQ，，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=BC，，

∴，

∴，即，

在△BAP和△BCQ中，

∵，

∴（SAS），

∴CQ=AP．

（2）如图，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

∴，

∵DC=AD=，

由勾股定理可得：

，

∵AP=x，

∴PC=4-x，

∵△PBQ是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

由，

∴，

得到，

，

得x=3或x=1．

当x=3或1时，．

（3）结论：PF=EQ，理由是：

如图，当F在边AD上时，过P作，交AB于G，则，

∵，

∴，

∴，

∵PB=BQ，，

∴（SAS），

∴EQ=PG，

∵，

∴F、A、G、P四点共圆，

连接FG，

∴，

∴△FPG是等腰直角三角形，

∴PF=PG，

∴PF=EQ．

当F在AD的延长线上时，如图所示，同理可得：PF=PG=EQ．