Question

（1）操作发现：如图①，Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点D是CB的中点，将△ACD沿AD折叠后得到△AED△，过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F，容易发现线段BF和EF的关系是

 

．
（2）类比思考：若将图①中“AC=BC”改成“AC≠BC”，其他条件不变，如图②，那么（1）中的发现是否仍然成立？请说明理由．
（3）拓广探究：若将图①中“Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°”，改为“在△ABC中”，其他条件不变，如图③，那么（1）中的发现是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）观察图形，可以发现EF=BF；
（2）如图，作辅助线；证明∠DBE=∠DEB，进而得到∠FEB=∠FBE，BF=EF．
（3）如图，作辅助线；证明∠DBE=∠DEB，进而得到∠FEB=∠FBE，BF=EF．

解答： 解：（1）观察图形，可以发现BF=EF．故答案为：相等．
（2）BF=EF仍然成立；理由如下：如图②，连接BE，
由题意得：CD=DE，
∠AED=∠C；
∵BE∥AC，
∴∠FBD=∠FED=180°-∠C
∵点D是CB的中点，
∴DB=CD，DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB，∠FEB=∠FBE，
∴BF=EF．
（3）BF=EF仍然成立；理由如下：
如图③，连接BE，
由题意得：CD=DE，
∠AED=∠C；
∵BE∥AC，
∴∠FBD=∠FED=180°-∠C
∵点D是CB的中点，
∴DB=CD，DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB，∠FEB=∠FBE，
∴BF=EF．

点评：该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、翻折变换的性质及其应用等几何知识点问题；解题的关键是作辅助线，构造等腰三角形，灵活运用平行线的性质等知识点来分析、解答．