Question

3．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上且BE平分∠DBC，O是BD的中点，直线BE、DG交于点H，BD、AH交于点M，连接OH，下列四个结论：
①BE⊥GD；②OH=$\frac{1}{2}$BG；③∠AHD=45°；④GD=$\sqrt{2}$AM，
其中正确的结论个数有4个．

Answer 1

分析 ①由已知条件可证得△BEC≌△DGC，∠EBC=∠CDG，因为∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；
②由①可以证明△BHD≌△BHG，就可以得到DH=GH，得出OH是△BGD的中位线，从而得出结论．
③若以BD为直径作圆，那么此圆必经过A、B、C、H、D五点，根据圆周角定理即可得到∠AHD=45°，所以②的结论也是正确的．
④此题要通过相似三角形来解；由②的五点共圆，可得∠BAH=∠BDH，而∠ABD=∠DBG=45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根据相似三角形的比例线段即可得到AM、DG的比例关系；

解答 解：①正确，证明如下：
∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，
∴△BEC≌△DGC，
∴∠EBC=∠CDG，
∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，
∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；
②∵BE平分∠DBC，
∴∠DBH=∠GBH．
∵BE⊥GD，
∴∠BHD=∠BHG=90°．
在△BHD和△BHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBH=∠GBH}\\{BH=BH}\\{∠BHD=∠BHG}\end{array}\right.$，
∴△BHD≌△BHG（ASA），
∴DH=GH．
∵O是BD中点，
∴DO=BO．
∴OH是△BDG的中位线，
∴OH=$\frac{1}{2}$BG，故②正确；
③由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五点都在以BD为直径的圆上；
由圆周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故③正确；
④由②知：A、B、C、D、H五点共圆，则∠BAH=∠BDH；
又∵∠ABD=∠DBG=45°，
∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：$\sqrt{2}$，即DG=$\sqrt{2}$AM；
故④正确；
∴正确的个数有4个．
故答案为：4．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用、正方形的性质的运用，角平分线的性质的运用以及圆周角定理等知识，综合性强．