Question

2．已知，直线y=x+b与x，y轴交于A、B两点，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于点C，且AC=AB，S△_BOC=4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若D（-1，0），在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上是否存在一点P，使得S_△PDO=2S_△PBO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）平移直线y=-x使直线与反比例函数的图象交于E、F两点，是否存在一点E、F，使得EF=AB？若存在，求出点EF的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，根据AC=AB可知点A是线段BC的中线，故S_△AOB=S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△BOC=2，再由直线y=x+b与x，y轴交于A、B两点可用b表示出A、B两点的坐标，故可得出b的值，再由AAS定理得出△AOB≌△ADC，故可得出CD的长，进而得出C点坐标，由此可得出反比例函数的解析式；
（2）先由B、D两点的坐标得出OD及OB的长，再设P（m，$\frac{8}{m}$），用m表示出△PDO及△PBO的值，再由S_△PDO=2S_△PBO，求出m的值，进而可得出P点坐标；
（3）先根据勾股定理求出AB的长，设平移后的直线y=-x交直线y=x于点G，则OG⊥EF，过点E、F作EI⊥x轴于点I，FK⊥x轴于点K，过点F作FH⊥EI于点H，再由反比例函数的图象关于直线y=x对称可知点EF关于直线OG对称，由EF=AB=2$\sqrt{2}$可得出GF=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{2}$，由等腰直角三角形的性质可知GH=$\sqrt{2}$，由勾股定理可得出FH的长，设E（a，$\frac{8}{a}$），则F（2+a，$\frac{8}{2+a}$），由EF关于直线y=x对称可知a=$\frac{8}{2+a}$，求出a的值，进而可得出结论．

解答 解：（1）如图1，连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵AC=AB，
∴点A是线段BC的中线，
∴S_△AOB=S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△BOC=2．
∵直线y=x+b与x，y轴交于A、B两点，
∴A（-b，0），B（0，b），
∴$\frac{1}{2}$b²=2，解得b=-2或b=2（舍去），
∴A（2，0），B（0，-2），
在△AOB与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BAO=∠CAD\\∠AOB=∠ADC\\ AB=AC\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△ADC（AAS），
∴AD=OA=2，CD=OB=2，
∴C（4，2）．
∵点C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{8}{x}$；

（2）∵D（-1，0），B（0，-2），
∴OD=1，OB=2．
设P（m，$\frac{8}{m}$），
则S_△PDO=$\frac{1}{2}$OD•|$\frac{8}{m}$|=|$\frac{4}{m}$|，
S_△PBO=$\frac{1}{2}$OB•|m|=|m|，
∵S_△PDO=2S_△PBO，
∴|$\frac{4}{m}$|=2|m|，解得m=±$\sqrt{2}$，
∴P₁（$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$），P₂（-$\sqrt{2}$，-4$\sqrt{2}$）；

（3）如图3所示，∵OB=OA=2，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$/
设平移后的直线y=-x交直线y=x于点G，则OG⊥EF，过点E、F作EI⊥x轴于点I，FK⊥x轴于点K，过点F作FH⊥EI于点H，
∵反比例函数的图象关于直线y=x对称，
∴点E、F关于直线OG对称．
∵EF=AB=2$\sqrt{2}$，
∴GF=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{2}$，
∴GH=$\sqrt{2}$，
∴FH=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∴设E（a，$\frac{8}{a}$），则F（2+a，$\frac{8}{2+a}$），
∵E、F关于直线y=x对称，
∴a=$\frac{8}{2+a}$，解得a=2或a=-4，
∴E（2，4），F（4，2）或E（-4，-2），F（-2，-4）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点及三角形的面积公式等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．