Question

当m取不同实数时，方程y=（x-3m）²-m-1表示不同的抛物线，所有这样的抛物线我们称为一个“抛物线系“：如果抛物线系：y=（x-3m）²-m-1的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：设“抛物线系“的顶点坐标为（x，y），根据二次函数的性质得

x=3m① y=-m-1②

，然后利用加减消元法消去m得到y与x的关系，从而得到y=（x-3m）²-m-1的顶点所在的直线解析式．

解答：解：设“抛物线系“的顶点坐标为（x，y），
因为抛物线y=（x-3m）²-m-1的顶点坐标为（3m，-m-1），
即

x=3m① y=-m-1②

，
①+②×3得x+3y=-3，
所以y=-

1

3

x-1，
即y=（x-3m）²-m-1的顶点在直线y=

1

3

x-1上．
故答案为y=

1

3

x-1．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．