Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：
（1）AC=2BF；
（2）AB垂直平分DF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠CDA=∠F，即可证明△ACD≌△CBF，可得CD=BF，易证AC=2CD，即可解题；
（2）连接DF交AB于G点，易证BD=BF，∠ABC=45°，根据△ACD≌△CBF，可求得∠ABF=45°，即可证明∴△DBG≌△FBG，可得DG=FG，∠DGB=∠FGB，即可求得∠DGB=∠FGB=90°，即可解题．

解答：证明：（1）∵BF∥AC，
∴BC⊥BF，
∵∠DCE+∠F=90°，∠DCE+∠CDA=90°，
∴∠CDA=∠F，
在△ACD和△CBF中，

∠CDA=∠F ∠ACD=∠CBF=90° AC=BC

，
∴△ACD≌△CBF（AAS），
∴CD=BF，
∵点D是BC的中点，
∴AC=BC=2CD，
∴AC=2BF；
（2）连接DF交AB于G点，

∵点D是BC的中点，
∴AC=2BD，
∵AC=2BF，
∴BD=BF，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵△ACD≌△CBF，
∴∠CBF=∠ACD=90°，
∴∠ABF=45°，
在△DBG和△FBG中，

BD=BF ∠ABD=∠ABF=45° BG=BG

，
∴△DBG≌△FBG（SAS），
∴DG=FG，∠DGB=∠FGB，
∵∠DGB+∠FGB=180°，
∴∠DGB=∠FGB=90°，
∴AB垂直平分DF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△CBF和△DBG≌△FBG是解题的关键．