Question

如图，已知Rt△ABC中，∠CAB=90°，以AB为直径的⊙O交斜边BC于点D，E是AC的中点，连接ED并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若∠F=30°，AB=4，求DF、EF的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接BD、DO，只要证明∠ODE=90°，OD是半径，就可得到DE是⊙O的切线．
（2）利用Rt△ODF∽Rt△EAF的性质来求DF、EF的长．

解答：（1）证明：连接BD，DO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠CDA=90°
又∵E为AC的中点，
∴CE=EA，
∴∠1=∠4．
∵OD=OA，
∴∠2=∠3．
∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°，即∠EDO=90°，
又∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：由（1）知，∠ODF=90°．
在Rt△ODF中，∠F=30°，OD=

1

2

AB=2，
∴OF=4，DF=

42-22

=2

3

．
在Rt△ODF与Rt△EAF中，
∵∠ODF=∠EAF=90°，∠F=∠F，
∴Rt△ODF∽Rt△EAF，
∴

OF

EF

=

DF

AF

，即

4

EF

=

2 3

6

，
则EF=4

3

．

点评：本题利用了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．