Question

（本题12分）已知：如图1，点D是边长为2的等边△ABC边BC所在直线上的一动点，从点B向C方向运动，以AD为边向右侧作等边△ADE。

（1）连接CE,若点D在边BC上时，易知线段CE 、CD、AC三者之间的关系为CE+CD=AC; 如图2当点D在C的右侧时，试探索线段CE 、CD、AC三者之间的数量关系，并说明理由。

（2如图1，当点D从B运动到C时，①直接写出△CDE周长的最小值。②直接写出点E的运动路径长。

（3）若将题目中条件“等边△ADE”改为“满足∠ADE=60°与等边△ABC的外角平分线交于点E”,那么CE与BD还相等吗？如图3请作出判断并给出说明。

图1 图2 图3

Answer 1

（1） CD+AC=CE （2） ① 2+ ② 2 （3） CE=BD

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得出△ABD≌△ACE，从而得证BD=CE，进而根据等量代换得出结论；

（2）根据等腰三角形的性质可知当D点在BC的中点时，△CDE周长的值最小，可求周长，再根据（1）的结论和周长求出E点的路径；

（3）过点D作DF∥AC交AB于点F，根据平行线的性质和等边三角形的性质可以证得△BFD是等边三角形，进而得出AF=CD，∠CDE=∠BAD，再根据∠AFD=∠DCE=120°得△AFD≌△DCE，因此得证结论.

试题解析：（1）【解析】
CD+AC=CE

理由：∵等边△ABC和等边△ADE

∴△ABD≌△ACE

∴BD=CE

又BD=BC+CD,AC=BC

∴CD+AC=CE

（2） ① 2+ ② 2

（3）【解析】
CE=BD

过点D作DF∥AC交AB于点F

∵等边△ABC

∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°

∴∠BFD=∠BAC=60°

∴△BFD是等边三角形

∴BF=BD 又AB=AC

∴AF=CD

∵∠ADE=60°

∴∠ADB+∠CDE=120°

又∠B=60°

∴∠ADB+∠BAD=120°

∴∠CDE=∠BAD

又∠AFD=∠DCE=120°

∴△AFD≌△DCE（ASA）

∴CE=DF,又DF=BD

∴CE=BD

考点：平行线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质